如何快速理解笛卡尔积的概念

来源：互联网 2023-03-20 14:39:29 323

最近做数据库表设计，涉及到笛卡尔积的概念，以前学得似懂非懂，这属于理念层面，不会也不要紧，但会的话能迅速加深自己的理解，学其他知识也能触类旁通。教科书讲得太抽象，晦涩难懂。那么跟我一起来一步步入门笛卡尔积吧。

工具/原料

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帮助理解的辅助工具：EXCEL 或纸笔或思维导图软件

方法/步骤

首先瞧一眼定义：设D1,D2,...,Di,...,Dn为任意集合，定义D1,D2,...,Di,...,Dn的笛卡尔积为D1×D2×...×Di×...×Dn={(d1,d2,...,di,...,dn)|di∈Di，i=1,2,3，...，n}

其中，每一个元素（d1,d2,...,di,...,dn）称为一个n元组（n-tuple，即属性的个数），元组的每一个di称为元组的一个分量。若Di(i=1,2,3,...,n)为有限集，其基数（cardinal number，即元组的个数）为mi(i=1,2,3,...,n)，则D1×D2×...×Di×...×Dn的基数为各基数之积，笛卡尔积可以用二维表来表示。

这一看太麻烦了，太抽象了，简直劝退。所以，我们暂且不管。

如何快速理解笛卡尔积的概念

我们描述一个事物，可以用其中若干特征来表示，这些特征称为属性（Attriubute）。

比如描述学生，学生的属性有姓名，性别，身份证号，职业等等，描述苹果，属性有颜色，味道，出产地等等。

同时，每个属性有取值范围，取值范围可以看做是一个值的集合，称为该属性的域（domain）。

比如，性别的域为{男，女}，也就是说性别的取值范围是男，女；

颜色的域也可以为{赤，橙，黄，绿，青，蓝，紫}，也就是说颜色的取值范围是赤，橙，黄，绿，青，蓝，紫；

个位整数的域为{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}等等。

因此，在笛卡尔积定义中用字母D代表域，D可以看成是取值范围，集合，或空间。看哪个好理解了。

如何快速理解笛卡尔积的概念

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接下来，看个例题来理解概念：

若D1={0,1},D2={a,b},D3={c,d},求D1×D2×D3。

我们来分析：

D1的取值范围为{0,1}

D2的取值范围为{a,b}

D3的取值范围为{c,d}

根据定义，这有三个域D1,D2,D3相乘，笛卡尔积的每一个元素将会是（d1,d2,d3)的形式，也就是一个三元组。

元组的每个值di都称为元组的一个分量，而每个分量分别来自不同的域D1,D2,D3。

所以，

D1×D2×D3={(0,a,c),(0,a,d),(0,b,c),(0,b,d),(1,a,c),(1,a,d),(1,b,c),(1,b,d)}

它的基数为2×2×2=8，也就是元组的个数为8，用二维表表示的行数为8。

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方法/步骤2

在进行笛卡尔积运算前，需要注意的是，参与运算的某属性的取值范围（域）D1，D2,...,Dn并不会取所代表意义的全部可能的值，但他们的计算值（笛卡尔积）却是所有可能的组合。

例如，姓名的域往往抽取有限个{张三，李四}，学号的域也是抽取有限个{100101,100102,100103}。

但笛卡尔积却是他们的所有可能的组合{（张三，100101），（张三，100102），（张三，100103），（李四，100101），（李四，100102），（李四，100103）}。

如果用二维表表示的话，这并没有现实的意义，因为这是所有可能的组合。

而现实情况是，一个人只可能有一个学号，一个学号只能对应一个人。

所以，引出另一个定义：

D1×D2×...×Di×...×Dn的子集称为在域D1,D2,...,Di,...,Dn上的关系，记为R(D1,D2,...,Di,...,Dn),称关系R为n元关系。

如图，用该二维表表示的关系R为4元关系。它是域D1,D2,D3,D4(学号，姓名，专业，性别)笛卡尔积的子集。而关系R具有现实意义，因为它可能就是某一学校的学生表。

域D1,D2,D3,D4(学号，姓名，专业，性别)笛卡尔积的基数为3×3×3×2=54，这里是它的子集，只有3行，基数为3。

同时，关系R也可以看做一个域（二维表），有三种取值，一个元组意为一个取值。可以与另一个域（二维表）做笛卡尔积，形成一个新的域（二维表）。

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在百度百科中，笛卡尔积的定义是：

“两个集合X和Y的笛卡尔积（Cartesian product），又称直积，表示为X×Y，第一个对象是X的成员而第二个对象是Y的所有可能有序对的其中一个成”

我们可以看出，这是一个特例，是两个集合的笛卡尔积。

在数据表中，也经常需要做两个表的join操作，其实也就是求笛卡尔积。

教课书中给的广义笛卡尔积定义：

两个元数分别为n目和m目的关系R和S的广义笛卡尔积是一个（n m）列的元组的集合。元组的前n列是关系R的一个元组，后m列是关系S的一个元组，记作R×S，其形式定义如下：

R×S={t|t= t^n,t^m> ∧ t^n∈R ∧ t^m∈R}

如果R和S中有相同的属性名，可在属性名前加关系名作为限定，以示区别。若R有K1个元组，S有K2个元组，则R和S的广义笛卡尔积有K1×K2个元组。

注意：t^n,t^m>代表元组t^n和t^m拼接成的一个元组。“∧”是“逻辑与”。

如图，列数为3、元组个数为3的关系R和列数为3、元组个数为3的关系S做笛卡尔积，成为了一个列数为6、元组个数为9的新二维表。

(图片引自百度百科)

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注意事项

不同的教材对笛卡尔积有不同的定义，这是因为是站在不同的角度描述的。只要站在一种角度上理解了，用其他角度看也能很快理解

以上方法由办公区教程网编辑摘抄自百度经验可供大家参考！

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